莱布尼茨之梦
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莱布尼茨之梦

我们必须知道,我们将会知道。——希尔伯特

1678年12月,在写给伽罗瓦的信中,莱布尼茨提到了一种「普遍文字」(universal characteristic),其中任何一个符号都以自然而恰当的方式表示某个确定的观念,由此这一文字也无法写出任何「荒诞不经的想法」,「论证和计算(将)是同一回事」。

借助现代经验的转译,我们不妨认为,莱布尼茨所期待的正是一台永远不会犯错的机器,通过熟练掌握它,我们便可以避免一切错误,而只与真理进行对话。尽管莱布尼茨并未实现这种机器,也并未指出实现的方法,然而这一设想是如此诱人,不断将后继的数学家拉入莱布尼茨的梦乡之中。

1879年,弗雷格出版了《概念文字》。在这本副标题为「一种模仿算数语言构造的纯思维的形式语言」的书中,弗雷格拓展了布尔的工作,尝试借助概念文字与形式句法,将布尔处作为数学分支的逻辑学扭转为整个数学的基础。作为这一尝试的重要部分,世纪末的弗雷格尝试利用纯逻辑术语来定义自然数,如果成功,那么他将证明算数、微积分乃至一切数学都可以作为逻辑的一个分支,而数学的复杂性则可反证逻辑系统极可能具有「完备性」——弗雷格距离莱布尼茨的梦想已然十分接近了。

然而好景不长,1902年,罗素在给弗雷格的信中指出,弗雷格的工作存在着致命的矛盾,其关键在于不能够在证明中运用集合的集合(弗雷格的工作正大量运用了集合的集合),不若则很容易导致矛盾,这一原理的数学表达即「罗素悖论」:

设集合S是由一切不属于自身的集合所组成,即“S=x|x∉S”。那么显然,集合S既包含于S又不包含于S。

「罗素悖论」不仅阻击了弗雷格的美梦,还毫不意外地指向了数学本身的危机:数学系统或许并不具有确定性与完备性。在对数学进行营救的过程中,罗素沿着弗雷格的道路,以《数学原理》证明了可以在一个符号系统内对数学进行完全的形式化,但正如维特根斯坦所说,这一符号系统有着许多错误,「靠出一个新版本也无济于事」。与罗素相对,布劳威尔与彭加勒进行了一种直觉主义(或可成为浪漫主义)的辩护,将数学的基础奠定为一种创造性的直觉活动,并认为数学系统与逻辑系统存在根本性的区别。

直觉主义欲图一票否决弗雷格与罗素等人在数学逻辑化方面的推进,而逻辑主义则无法提出有效的反驳。为了营救那些数学的「宝藏」,希尔伯特采取了调和性的方案,尝试创造一种「元数学」(一个严格受限的数学的子集),其中借助「有限直觉」以建立起基础,而在此之上直觉即可退场,数学可脱离直觉转而搭建在逻辑系统之上。这种形式主义方案的关键在于将数学本身当作一种不具有现实意义的符号系统,并将真理的意义化约为「可证明性」。然而希尔伯特并未有效清晰界定「元数学」与「有限直觉」,而这种含糊恰恰导向了哥德尔对希尔伯特纲领的致命一击。

在完整地提出上述纲领后,希尔伯特相信数学即将得到营救,剩下的关键问题有二:其一是一阶逻辑的完备性,即任何一个在外部看来有效的公式是否都可以在系统中得到证明;其二则是「判定问题」,即是否可在有限步内判定一个一阶逻辑的公式是否有效。只要解决了这两个问题,那么至少在元数学之上的数学系统都可以得到逻辑的保证。不过正是在对完备性问题进行证明的过程中,哥德尔考虑了如下问题:如果在一个形式系统内部表达出元数学会发生什么?哥德尔说明了,「可证明性」可以在形式系统中得到表示,而根据希尔伯特的关键判断(真理等于可证明性),我们可以轻而易举地在形式系统中表示出「真理」的概念,于是也很容易得到如下悖论:「这一陈述是假的」。要解决这一悖论并不困难,只需放弃可证明性与真理的等同,承认要么形式系统存在不一致(存在错误),要么其中至少存在一个真的但是不可被证明的命题——概言之,哥德尔证明了形式系统是不完备的。

哥德尔对完备性问题的证明以一种意想不到的方式终结了第三次数学危机。然而哥德尔的结论背后却隐含着一种根本性的失落:总存在一些无法被证明的数学命题,我们永远无法看清所有的真理。这一次则轮到希尔伯特间接地拯救哥德尔了。在对「判定问题」的证明中,图灵引入了一台「图灵机」,并借用哥德尔将可证明性转入形式系统内部的方式,将运算的过程看作对一条印上数字的纸带的处理,由此将判定问题转化成了「停机问题」,最终证明了判定问题在算法上不可解。然而这种不可解却并未使人绝望,因为图灵在他的博士论文中通过一种巧妙地方式回避了判定问题与不完备性问题:

「由于从系统外部考察时,哥德尔的已知系统的不可判定命题可以被看成为真,所以一个自然的想法就是把这样一个命题作为一个新的公理加到已知系统中,这样就得到了一个新系统,其中不可判定命题不再是不可判定的。」

在这里,我们已经部分地实现了莱布尼茨之梦:尽管不存在一个永远不会失误的万能机器,但我们却可以通过不断分层构造系统,在保障正确的同时不断拓展系统的判定范围。用莱布尼茨的话说:「这一结果是众多可能的结果之中最好的一个」。

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